3.620 \(\int \frac{(e \cos (c+d x))^p}{(a+b \sin (c+d x))^2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=170 \[ -\frac{e (e \cos (c+d x))^{p-1} \left (-\frac{b (1-\sin (c+d x))}{a+b \sin (c+d x)}\right )^{\frac{1-p}{2}} \left (\frac{b (\sin (c+d x)+1)}{a+b \sin (c+d x)}\right )^{\frac{1-p}{2}} F_1\left (2-p;\frac{1-p}{2},\frac{1-p}{2};3-p;\frac{a+b}{a+b \sin (c+d x)},\frac{a-b}{a+b \sin (c+d x)}\right )}{b d (2-p) (a+b \sin (c+d x))} \]

[Out]

-((e*AppellF1[2 - p, (1 - p)/2, (1 - p)/2, 3 - p, (a + b)/(a + b*Sin[c + d*x]), (a - b)/(a + b*Sin[c + d*x])]*
(e*Cos[c + d*x])^(-1 + p)*(-((b*(1 - Sin[c + d*x]))/(a + b*Sin[c + d*x])))^((1 - p)/2)*((b*(1 + Sin[c + d*x]))
/(a + b*Sin[c + d*x]))^((1 - p)/2))/(b*d*(2 - p)*(a + b*Sin[c + d*x])))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.0694385, antiderivative size = 170, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 1, number of rules used = 1, integrand size = 23, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.043, Rules used = {2703} \[ -\frac{e (e \cos (c+d x))^{p-1} \left (-\frac{b (1-\sin (c+d x))}{a+b \sin (c+d x)}\right )^{\frac{1-p}{2}} \left (\frac{b (\sin (c+d x)+1)}{a+b \sin (c+d x)}\right )^{\frac{1-p}{2}} F_1\left (2-p;\frac{1-p}{2},\frac{1-p}{2};3-p;\frac{a+b}{a+b \sin (c+d x)},\frac{a-b}{a+b \sin (c+d x)}\right )}{b d (2-p) (a+b \sin (c+d x))} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(e*Cos[c + d*x])^p/(a + b*Sin[c + d*x])^2,x]

[Out]

-((e*AppellF1[2 - p, (1 - p)/2, (1 - p)/2, 3 - p, (a + b)/(a + b*Sin[c + d*x]), (a - b)/(a + b*Sin[c + d*x])]*
(e*Cos[c + d*x])^(-1 + p)*(-((b*(1 - Sin[c + d*x]))/(a + b*Sin[c + d*x])))^((1 - p)/2)*((b*(1 + Sin[c + d*x]))
/(a + b*Sin[c + d*x]))^((1 - p)/2))/(b*d*(2 - p)*(a + b*Sin[c + d*x])))

Rule 2703

Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(g_.))^(p_)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Simp[(g*(g*
Cos[e + f*x])^(p - 1)*(a + b*Sin[e + f*x])^(m + 1)*AppellF1[-p - m, (1 - p)/2, (1 - p)/2, 1 - p - m, (a + b)/(
a + b*Sin[e + f*x]), (a - b)/(a + b*Sin[e + f*x])])/(b*f*(m + p)*(-((b*(1 - Sin[e + f*x]))/(a + b*Sin[e + f*x]
)))^((p - 1)/2)*((b*(1 + Sin[e + f*x]))/(a + b*Sin[e + f*x]))^((p - 1)/2)), x] /; FreeQ[{a, b, e, f, g, p}, x]
&& NeQ[a^2 - b^2, 0] && ILtQ[m, 0] &&  !IGtQ[m + p + 1, 0]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{(e \cos (c+d x))^p}{(a+b \sin (c+d x))^2} \, dx &=-\frac{e F_1\left (2-p;\frac{1-p}{2},\frac{1-p}{2};3-p;\frac{a+b}{a+b \sin (c+d x)},\frac{a-b}{a+b \sin (c+d x)}\right ) (e \cos (c+d x))^{-1+p} \left (-\frac{b (1-\sin (c+d x))}{a+b \sin (c+d x)}\right )^{\frac{1-p}{2}} \left (\frac{b (1+\sin (c+d x))}{a+b \sin (c+d x)}\right )^{\frac{1-p}{2}}}{b d (2-p) (a+b \sin (c+d x))}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 25.5646, size = 4793, normalized size = 28.19 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(e*Cos[c + d*x])^p/(a + b*Sin[c + d*x])^2,x]

[Out]

((e*Cos[c + d*x])^p*Tan[c + d*x]*(b*(a^2 - b^2)*AppellF1[1, (-1 + p)/2, 2, 2, -Tan[c + d*x]^2, ((-a^2 + b^2)*T
an[c + d*x]^2)/a^2]*Tan[c + d*x] + (3*a^5*((-2*a^2*b^2*AppellF1[1/2, p/2, 2, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, ((-a^2 + b^
2)*Tan[c + d*x]^2)/a^2])/((-3*a^2*AppellF1[1/2, p/2, 2, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] +
(4*(a^2 - b^2)*AppellF1[3/2, p/2, 3, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] + a^2*p*AppellF1[3/
2, (2 + p)/2, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2])*Tan[c + d*x]^2)*(b^2*Tan[c + d*x]^2 - a
^2*(1 + Tan[c + d*x]^2))^2) + ((a^2 + b^2)*AppellF1[1/2, p/2, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[c + d
*x]^2)/a^2])/((-3*a^2*AppellF1[1/2, p/2, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] + (2*(a^2 - b
^2)*AppellF1[3/2, p/2, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] + a^2*p*AppellF1[3/2, (2 + p)/2
, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2])*Tan[c + d*x]^2)*(-(b^2*Tan[c + d*x]^2) + a^2*(1 + T
an[c + d*x]^2)))))/(1 + Tan[c + d*x]^2)^(p/2)))/(a^3*(-a^2 + b^2)*d*(a + b*Sin[c + d*x])^2*((Sec[c + d*x]^2*(b
*(a^2 - b^2)*AppellF1[1, (-1 + p)/2, 2, 2, -Tan[c + d*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^2)/a^2]*Tan[c + d*x] +
(3*a^5*((-2*a^2*b^2*AppellF1[1/2, p/2, 2, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^2)/a^2])/((-3*a^2*A
ppellF1[1/2, p/2, 2, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] + (4*(a^2 - b^2)*AppellF1[3/2, p/2,
3, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] + a^2*p*AppellF1[3/2, (2 + p)/2, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]
^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2])*Tan[c + d*x]^2)*(b^2*Tan[c + d*x]^2 - a^2*(1 + Tan[c + d*x]^2))^2) + ((a^2
+ b^2)*AppellF1[1/2, p/2, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^2)/a^2])/((-3*a^2*AppellF1[1/2,
p/2, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] + (2*(a^2 - b^2)*AppellF1[3/2, p/2, 2, 5/2, -Tan
[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] + a^2*p*AppellF1[3/2, (2 + p)/2, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^
2/a^2)*Tan[c + d*x]^2])*Tan[c + d*x]^2)*(-(b^2*Tan[c + d*x]^2) + a^2*(1 + Tan[c + d*x]^2)))))/(1 + Tan[c + d*x
]^2)^(p/2)))/(a^3*(-a^2 + b^2)) + (Tan[c + d*x]*(b*(a^2 - b^2)*AppellF1[1, (-1 + p)/2, 2, 2, -Tan[c + d*x]^2,
((-a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^2)/a^2]*Sec[c + d*x]^2 + b*(a^2 - b^2)*Tan[c + d*x]*(-((-1 + p)*AppellF1[2, 1 + (-1
+ p)/2, 2, 3, -Tan[c + d*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^2)/a^2]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/2 + (2*(-a^2 +
b^2)*AppellF1[2, (-1 + p)/2, 3, 3, -Tan[c + d*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^2)/a^2]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c +
d*x])/a^2) - 3*a^5*p*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x]*(1 + Tan[c + d*x]^2)^(-1 - p/2)*((-2*a^2*b^2*AppellF1[1/2, p
/2, 2, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^2)/a^2])/((-3*a^2*AppellF1[1/2, p/2, 2, 3/2, -Tan[c +
d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] + (4*(a^2 - b^2)*AppellF1[3/2, p/2, 3, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/
a^2)*Tan[c + d*x]^2] + a^2*p*AppellF1[3/2, (2 + p)/2, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2])
*Tan[c + d*x]^2)*(b^2*Tan[c + d*x]^2 - a^2*(1 + Tan[c + d*x]^2))^2) + ((a^2 + b^2)*AppellF1[1/2, p/2, 1, 3/2,
-Tan[c + d*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^2)/a^2])/((-3*a^2*AppellF1[1/2, p/2, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1
+ b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] + (2*(a^2 - b^2)*AppellF1[3/2, p/2, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c +
d*x]^2] + a^2*p*AppellF1[3/2, (2 + p)/2, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2])*Tan[c + d*x
]^2)*(-(b^2*Tan[c + d*x]^2) + a^2*(1 + Tan[c + d*x]^2)))) + (3*a^5*((4*a^2*b^2*AppellF1[1/2, p/2, 2, 3/2, -Tan
[c + d*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^2)/a^2]*(-2*a^2*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x] + 2*b^2*Sec[c + d*x]^2*Tan
[c + d*x]))/((-3*a^2*AppellF1[1/2, p/2, 2, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] + (4*(a^2 - b^
2)*AppellF1[3/2, p/2, 3, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] + a^2*p*AppellF1[3/2, (2 + p)/2,
2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2])*Tan[c + d*x]^2)*(b^2*Tan[c + d*x]^2 - a^2*(1 + Tan[c
+ d*x]^2))^3) - (2*a^2*b^2*(-(p*AppellF1[3/2, 1 + p/2, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^2)
/a^2]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/3 + (4*(-a^2 + b^2)*AppellF1[3/2, p/2, 3, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, ((-a^2 + b^
2)*Tan[c + d*x]^2)/a^2]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*a^2)))/((-3*a^2*AppellF1[1/2, p/2, 2, 3/2, -Tan[c + d*
x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] + (4*(a^2 - b^2)*AppellF1[3/2, p/2, 3, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^
2)*Tan[c + d*x]^2] + a^2*p*AppellF1[3/2, (2 + p)/2, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2])*T
an[c + d*x]^2)*(b^2*Tan[c + d*x]^2 - a^2*(1 + Tan[c + d*x]^2))^2) - ((a^2 + b^2)*AppellF1[1/2, p/2, 1, 3/2, -T
an[c + d*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^2)/a^2]*(2*a^2*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x] - 2*b^2*Sec[c + d*x]^2*Ta
n[c + d*x]))/((-3*a^2*AppellF1[1/2, p/2, 1, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] + (2*(a^2 - b
^2)*AppellF1[3/2, p/2, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] + a^2*p*AppellF1[3/2, (2 + p)/2
, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2])*Tan[c + d*x]^2)*(-(b^2*Tan[c + d*x]^2) + a^2*(1 + T
an[c + d*x]^2))^2) + ((a^2 + b^2)*(-(p*AppellF1[3/2, 1 + p/2, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[c + d
*x]^2)/a^2]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/3 + (2*(-a^2 + b^2)*AppellF1[3/2, p/2, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, ((-a^
2 + b^2)*Tan[c + d*x]^2)/a^2]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/(3*a^2)))/((-3*a^2*AppellF1[1/2, p/2, 1, 3/2, -Tan[
c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] + (2*(a^2 - b^2)*AppellF1[3/2, p/2, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 +
b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] + a^2*p*AppellF1[3/2, (2 + p)/2, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]
^2])*Tan[c + d*x]^2)*(-(b^2*Tan[c + d*x]^2) + a^2*(1 + Tan[c + d*x]^2))) - ((a^2 + b^2)*AppellF1[1/2, p/2, 1,
3/2, -Tan[c + d*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^2)/a^2]*(2*(2*(a^2 - b^2)*AppellF1[3/2, p/2, 2, 5/2, -Tan[c +
d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] + a^2*p*AppellF1[3/2, (2 + p)/2, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^
2)*Tan[c + d*x]^2])*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x] - 3*a^2*(-(p*AppellF1[3/2, 1 + p/2, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (
-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/3 + (2*(-1 + b^2/a^2)*AppellF1[3/2, p/2, 2, 5/2, -T
an[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/3) + Tan[c + d*x]^2*(2*(a^2 - b^2)*
((-3*p*AppellF1[5/2, 1 + p/2, 2, 7/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d
*x])/5 + (12*(-1 + b^2/a^2)*AppellF1[5/2, p/2, 3, 7/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2]*Sec[c +
d*x]^2*Tan[c + d*x])/5) + a^2*p*((6*(-1 + b^2/a^2)*AppellF1[5/2, (2 + p)/2, 2, 7/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^
2/a^2)*Tan[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/5 - (3*(2 + p)*AppellF1[5/2, 1 + (2 + p)/2, 1, 7/2, -Tan[c
+ d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/5))))/((-3*a^2*AppellF1[1/2, p/2, 1, 3/
2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] + (2*(a^2 - b^2)*AppellF1[3/2, p/2, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2
, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] + a^2*p*AppellF1[3/2, (2 + p)/2, 1, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[
c + d*x]^2])*Tan[c + d*x]^2)^2*(-(b^2*Tan[c + d*x]^2) + a^2*(1 + Tan[c + d*x]^2))) + (2*a^2*b^2*AppellF1[1/2,
p/2, 2, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, ((-a^2 + b^2)*Tan[c + d*x]^2)/a^2]*(2*(4*(a^2 - b^2)*AppellF1[3/2, p/2, 3, 5/2,
-Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] + a^2*p*AppellF1[3/2, (2 + p)/2, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1
+ b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2])*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x] - 3*a^2*(-(p*AppellF1[3/2, 1 + p/2, 2, 5/2, -Tan[c + d
*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/3 + (4*(-1 + b^2/a^2)*AppellF1[3/2, p/2, 3,
5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/3) + Tan[c + d*x]^2*(4*(a^2
- b^2)*((-3*p*AppellF1[5/2, 1 + p/2, 3, 7/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^2*T
an[c + d*x])/5 + (18*(-1 + b^2/a^2)*AppellF1[5/2, p/2, 4, 7/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2]
*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/5) + a^2*p*((12*(-1 + b^2/a^2)*AppellF1[5/2, (2 + p)/2, 3, 7/2, -Tan[c + d*x]^2,
(-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/5 - (3*(2 + p)*AppellF1[5/2, 1 + (2 + p)/2, 2, 7/
2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2]*Sec[c + d*x]^2*Tan[c + d*x])/5))))/((-3*a^2*AppellF1[1/2, p
/2, 2, 3/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] + (4*(a^2 - b^2)*AppellF1[3/2, p/2, 3, 5/2, -Tan[c
+ d*x]^2, (-1 + b^2/a^2)*Tan[c + d*x]^2] + a^2*p*AppellF1[3/2, (2 + p)/2, 2, 5/2, -Tan[c + d*x]^2, (-1 + b^2/
a^2)*Tan[c + d*x]^2])*Tan[c + d*x]^2)^2*(b^2*Tan[c + d*x]^2 - a^2*(1 + Tan[c + d*x]^2))^2)))/(1 + Tan[c + d*x]
^2)^(p/2)))/(a^3*(-a^2 + b^2))))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.526, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\frac{ \left ( e\cos \left ( dx+c \right ) \right ) ^{p}}{ \left ( a+b\sin \left ( dx+c \right ) \right ) ^{2}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((e*cos(d*x+c))^p/(a+b*sin(d*x+c))^2,x)

[Out]

int((e*cos(d*x+c))^p/(a+b*sin(d*x+c))^2,x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\left (e \cos \left (d x + c\right )\right )^{p}}{{\left (b \sin \left (d x + c\right ) + a\right )}^{2}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((e*cos(d*x+c))^p/(a+b*sin(d*x+c))^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((e*cos(d*x + c))^p/(b*sin(d*x + c) + a)^2, x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (-\frac{\left (e \cos \left (d x + c\right )\right )^{p}}{b^{2} \cos \left (d x + c\right )^{2} - 2 \, a b \sin \left (d x + c\right ) - a^{2} - b^{2}}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((e*cos(d*x+c))^p/(a+b*sin(d*x+c))^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral(-(e*cos(d*x + c))^p/(b^2*cos(d*x + c)^2 - 2*a*b*sin(d*x + c) - a^2 - b^2), x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((e*cos(d*x+c))**p/(a+b*sin(d*x+c))**2,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\left (e \cos \left (d x + c\right )\right )^{p}}{{\left (b \sin \left (d x + c\right ) + a\right )}^{2}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((e*cos(d*x+c))^p/(a+b*sin(d*x+c))^2,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((e*cos(d*x + c))^p/(b*sin(d*x + c) + a)^2, x)